\documentclass{book}


\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage{indentfirst}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{patterns}
\usepackage[sumlimits, intlimits, namelimits]{amsmath}
\usepackage{amsfonts, amssymb, pifont, flexisym, breqn}
\usepackage{float}
\usepackage{color}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{ifthen}
\usepackage{makeidx}
\makeindex
\usepackage{url}
\usepackage{fullpage}
\usepackage[framedtheorems]{mymath}

\definecolor{darkgreen}{HTML}{008000}

\renewcommand{\theoremstyle}{\fontfamily{fco}\selectfont\bfseries\color{blue}}
\renewcommand{\theoremtextstyle}{\normalfont\sffamily\color{blue}}
\renewcommand{\definitionstyle}{\fontfamily{fco}\selectfont\bfseries\color{darkgreen}}
\renewcommand{\definitiontextstyle}{\fontfamily{fos}\selectfont\color{darkgreen}}

\begin{document}
%\tableofcontents\newpage

\chapter{Введение}
  \definition{
    \emph{Обыкновенные} дифференциальные уравнения -- дифференциальные уравнения
    функций одной переменной.
  }

  \definition{
    Уравнения вида \[
      F(x, y, y', \dots, y\'n')
    \] называются дифференциальными уравнениями порядка \(n\).
  }

  \definition{
    Решением дифференциального уравнения на \(\langle a, b \rangle\) называется
    \(n\) раз дифференцируемая функция \(y(x)\), такая, что \(\left(x, y(x), y' (x),
    \dots, y\'n'(x)\right) \in \defset_F\), и, подставляя её, мы
    получаем тождество; также \(y(x) \in C^{(n)}(\langle a, b \rangle)\)
    \TODO{(что это значит??)}, и гладкая (по определению).
  }

  Уравнение \(F(x, y, y' , \dots, y\'n') = 0\) можно решать относительно
  любой переменной, например, \(y\'n'\); тогда уравнение будет иметь вид \[
    y\'n' = f(x, y, \dots, y\'n - 1')
  \].

  Эти соотношения неравносильны, и переход между ними непрост. Для того, чтобы
  с ним не возиться, под дифференциальным уравнением \(n\)-ного порядка и будем
  понимать это соотношение. Так, уравнение первого порядка будет выглядеть
  следующим образом: \[
    y' = F(x, y), \pred \left( x, y(x) \right) \in \defset_F
  \]. Если мы решим уравнение и получим \(y'(x) = g(x)\), то, проинтегрировав,
  получим семейство функций с одним параметром -- \emph{множество решений}:
  \(y(x) = G(x) + C = h(x, C)\).

  Чтобы выбрать из этого множества единственное решение, нужно наложить также
  \emph{дополнительные условия}. Выбор этих условий -- сам по себе сложный
  вопрос: нужно и обеспечить единственность решения, и сохранить существование.
  Удобно наложить их, поставив задачу Коши:
  \{
    \[
      y(x_0) = \{y_0\}
    \], \[
      y'(x) = F(x, y)
    \], \[
      (x_0, y_0) \in \defset_F
    \].
  \}

  Для уравнения \(n\)-ного порядка задача Коши будет выглядеть следующим
  образом:
  \{
    \[
      y\'n' = f(x, y, y', \dots, y\'n-1')
    \], \[
      y(x_0) = y_0
    \], \[
      \dots
    \], \[
      y\'n-1'(0) = y\'n-1'_0
    \].
  \}

  Уравнения второго порядка встречаются в квантовой механике и физике сплошных
  сред.

  При задании значений в двух точках задача Коши превращается в краевую задачу,
  решение которой сложнее: задача Коши допускает локальное решение, а краевая
  задача требует наличия решения на промежутке.

  Сделаем замену: \TODO{зачем?}
  \begin{align*}
    \left[\left\{\begin{array}{r c l}
      y &=& z_1 \\
      y' &=& z_2 \\
      &\vdots& \\
      y\'n-1' &=& z_n \\
    \end{array}\right.\right] \to \left\{\begin{array}{r c l}
      z'_1 &=& z_2 \\
      z'_2 &=& z_3 \\
      &\vdots& \\
      z'_n &=& f(x, z_1, \dots, z_n) \\
    \end{array}\right.
  \end{align*}

  Если теперь записать \(z_i\) в виде вектора
  \begin{align*}
    \vec{z} = \left[\begin{array}{c}
      z_1 \\ z_2 \\ \vdots \\ z_n
    \end{array}\right]
  \end{align*},
  то получается задача Коши в векторном виде: 
  \{
    \[
      \vec{z}' = \vec{f}(x, \vec{z])
    \], \[
      \vec{z}(x_0) = \vec{z_0}
    \].
  \}
  Так, уравнение \(n\)-ного порядка равносильно системе из \(n\) уравнений
  первого порядка.

  Вернёмся к уравнениям первого порядка. Уравнение \(y' = f(x, y)\) по сути задаёт
  касательныую к решению \(y(x)\) в каждой точке \(\left( x, y \right)\). Эти
  касательные образуют \emph{поле направлений}.
  
  \subsection{Виды уравнений первого порядка}
    \subsubsection{Уравнения с разделяющимися переменными}
      \definition[уравнение с разделяющимися переменными]{
        Дифференциальное уравнение \[
          y' = f(x, y)
        \], где \(f(x, y)\) распадается в произведение \[
          f(x, y) = h(x)g(y)
        \], где \(h\) является функцией только от \(x\), причём непрерывной на
        исследуемом промежутке, а \(g\) -- только от \(y\), и тоже непрерывной,
        называется \emph{уравнением с разделяющимися переменными}.
      }
      \begin{theorem}
        Уравнение с разделяющимися переменными всегда имеет решение, причём,
        если \(g(y_0) \neq 0\), то оно единственное.
      \end{theorem}
      \begin{proof}
        Докажем в два пункта. Сначала докажем, что если решение существует, то
        оно единственное при условии \(g(y_0) \neq 0\).

        \(y'(x) = h(x)g(y(x))\). Рассмотрим случай, когда \(\exists{(y_0 -
        \eta, y_0 + \eta)} : g(y)\). Тогда \[
          h(x) \equiv \frac{y'(x)}{g(y(x))}
        \]. Проинтегрируем обе части: \[
          \underbrace{\int_{y_0}^{y}\frac{dy}{g(y)}}_{\assignto G(X)} \equiv 
          \int_{x_0}^{x}\frac{y'(x)dx}{g(y(x))}
          \equiv \underbrace{\int_{x_0}^{x}h(x)dx}_{\assignto H(x)}
        \]. Заметим также, что \(1/g(y) = G'(y)\) сохраняет знак, значит,
        \(G(y)\) монотонна, а значит, обратима. Тогда \[
          y(x) = G^{-1}(H(x))
        \]. \(G\) и \(H\) однозначно задаются функциями \(g\) и \(h\), а значит,
        если решение существует, то, при условии \(g(y_0) \neq 0\), оно
        единтвенно.

        Теперь докажем, что решение всегда существует. \[
          y(x_0) = G^{-1}(H(x_0)) = G^{-1}(0) = y_0
        \]. Начальное условие подтверждено. Теперь продемонстрируем, что
        уравнение обращается в верное равенство: \[
          y'(x) = G^{-1}(H(x))H'(x) = \frac{1}{G'(G^{-1}(H(x)))}h(x) =
          g(G^{-1}(H(x)))h(x) = g(y(x))h(x) = y'
        \]. При этом, если \(g(y_0) = 0\), то решение не единственно.
      \end{proof}
      Фактически, формульно решаются только уравнения, сводящиеся к уравнениям с
      разделяющимися переменными. Их всего три типа.
    \subsubsection{Уравнения, сводящиеся к разделяемым переменным}
      \begin{enumerate}
        \item
          Однородные уравнения. Задача Коши для них имеет вид
          \{
            \[
              y' = h\left(\frac{y}{x}\right)
            \], \[
              y(x_0) = y_0
            \].
          \}
          Определим \(u(x)\) следующим образом: \(y(x) = xu(x)\). Тогда \(y'(x)
          = u(x) + xu'(x) = h(u)\). При этом \(u(x_0) = y_0/x_0\). Получаем
          задачу Коши, записанную для \(u(x)\):
          \{
            \[
              u' = \frac{1}{x}\left( h(u) - u \right) = \tilde{h}(x)\tilde{g}(u)
            \], \[
              u(x_0) = \frac{y_0}{x_0}
            \].
          \}
        \item
          
      \end{enumerate}





    \newpage
    \printindex
%    \bibliographystyle{plain}
%    \bibliography{mathanbib}
\end{document}
